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Sistema de numeración ternario

Francisco 17-12-12
Alien 3 ojos

Un ordenador ternario o trinario es un ordenador que usa lógica ternaria (tres valores posibles) en vez de la lógica binaria (dos valores posibles) en sus cálculos.

Ordenadores ternarios

En el pasado existió el ordenador Setun en la Unión Soviética que usaba núcleos de ferrita

Setun

Hoy en día no existen ordenadores ternarios. Todos los ordenadores son binarios debido al uso de los transistores.

En el futuro es posible que un ordenador de fibra óptica pueda usar la oscuridad como 0 y dos polarizaciones ortogonales de la luz como 1 y -1.

Alienígena de tres ojos

Aparecen en la películas: La Guerra de los Mundos y Toy Story

Alienígena de 3 ojos

Unidades ternarias

Tryte
  • Un trit es la unidad fundamental y puede ser 0, 1 ó 2
  • Un tryte son 6 trits. El número de combinaciones es 36 = 729

Tabla de unidades internacionales

En binario

unidad     bytes
kilobyte 1 KB = 210 B = 1.024 B
megabyte 1 MB = 220 B = 1.048.576 B
gigabyte 1 GB = 230 B = 1.073.741.824 B
terabyte 1 TB = 240 B = 1.099.511.627.776 B

En ternario

unidad   ¿? trytes
kilotryte 1 KT = 39 T = 19.683 T
megatryte 1 MT = 315 T = 14.348.907 T
gigatryte 1 GT = 321 T = 10.460.353.203 T
teratryte 1 TT = 327 T = 7.625.597.484.987 T

Potencias en binario y ternario

Potencias en binario (base 2)

potencia rango uso
20 = 1  
21 = 2 Un bit
23 = 8 Sistema octal
24 = 16 Medio byte.
Sistema hexadecimal
25 = 32 Iconos de 32×32 píxeles
26 = 64 Base64
27 = 128 Iconos de 128×128 px
28 = 256 Un byte = 8 bits.
Tabla ANSI
29 = 512 Medio kilobyte
210 = 1.024 Un kilobyte
     
216 = 65.536 2 bytes. Unicode
     
220 = 1.048.576 Un megabyte
     
224 = 16.777.216 3 bytes. Color RGB
     
230 = 1.073.741.824 Un gigabyte
     
232 = 4.294.967.296 4 bytes. Un entero largo

Potencias en ternario (base 3)

potencia rango uso
30 = 1  
31 = 3 Un trit
32 = 9 Sistema nonal
33 = 27 Sistema septemvigesimal
34 = 81  
35 = 243  
36 = 729 Un tryte = 6 trits
Tabla de caracteres
37 = 2.187  
38 = 6.561 Un tercio de kilotryte?
39 = 19.683 Un kilotryte?
     
312 = 531.441 2 trytes. Unicode
314 = 4.782.969  
315 = 14.348.907 Un megatryte?
     
318 = 387.420.489 3 trytes. Color RGB
     
324 = 282.429.536.481 4 trytes. Entero largo

Alienígena de 3 ojos con pistola de rayos

Sistema de numeración ternario

Valores del dígito ternario: 0, 1, 2

Para compactar la representación ternaria de un número se puede usar el nonario (sistema numérico en base 9) o el sistema septemvigesimal (sistema numérico en base 27).

Expresar un ternario en decimal (3→10)

De derecha a izquierda vamos multiplicando cada dígito por la siguiente potencia de 3

220213 = 2*34 + 2*33 + 0*32 + 2*31 + 1*30 = 22310

Expresar un número decimal en ternario (10→3)

Realizamos divisiones enteras sucesivas con el divisor 3 hasta tener cociente 0

223 3        
1 74 3      
  2 24 3    
    0 8 3  
      2 2 3
        2 0

Recogemos todos los restos en orden inverso

22310 = 220213

Alienígena de 3 ojos, pirámides y platillos volantes

Sistema de numeración ternario balanceado

Valores del dígito ternario balanceado: -1, 0, 1

Expresar un número ternario balanceado en decimal (3b→10)

De derecha a izquierda vamos multiplicando cada dígito por la siguiente potencia de 3

10T1T13b = 1011113b = 1*35 + 0*34 - 1*33 + 1*32 - 1*31 + 1*30 = 22310

El ternario balanceado no necesita el signo menos para expresar números negativos

Expresar un número decimal en ternario balanceado (10→3b)

Realizamos divisiones enteras sucesivas con el divisor 3 hasta tener cociente 0. Para convertir un resto 2 en un resto -1 aumentamos en 1 el cociente.

223 3          
1 74 3        
  -1 25 3      
    1 8 3    
      -1 3 3  
        0 1 3
          1 0

Recogemos todos los restos en orden inverso

22310 = 1011113b = 10T1T13b

Nomenclatura

Negativo Cero Positivo
  negativo cero positivo
valor -1 0 +1
dígito 1 0 1
terna T 0 1
signo N O P

Tabla de una terna balanceada

La parte negativo es un reflejo exacto de la parte positiva si intercambiamos N y P

Ternario balanceado
decimal signo terna
-13 N N N TTT
-12 N N O TT0
-11 N N P TT1
-10 N O N T0T
-9 N O O T00
-8 N O P T01
-7 N P N T1T
-6 N P O T10
-5 N P P T11
-4 O N N TT
-3 O N O T0
-2 O N P T1
-1 O O N T
0 O O O 0
+1 O O P 1
+2 O P N 1T
+3 O P O 10
+4 O P P 11
+5 P N N 1TT
+6 P N O 1T0
+7 P N P 1T1
+8 P O N 10T
+9 P O O 100
+10 P O P 101
+11 P P N 11T
+12 P P O 110
+13 P P P 111

Operaciones con ternario balanceado

Suma
+ T 0 1
T T1 T 0
0 T 0 1
1 0 1 1T
Resta
- T 0 1
T 0 T T1
0 1 0 T
1 1T 1 0
Multiplicación
× T 0 1
T 1 0 T
0 0 0 0
1 T 0 1
División
÷ T 0 1
T 1 −∞ T
0 0 NaN 0
1 T +∞ 1

Alienígena de 3 ojos con tableta

Sistema septemvigesimal

El septemvigesimal es un sistema numérico en base 27

Así como un byte se puede expresar como dos dígitos hexadecimales;
un tryte se puede expresar como dos dígitos septemvigesimales.

Para expresar un número el sistema septemvigesimal es más conciso que el sistema ternario. La traducción entre septemvigesimal y ternario es directa agrupando los trits de tres en tres.

Tabla septemvigesimal

Septemvigesimal
dígito (10 dígito (27 trits gematría
0 0 0 0 0 _
1 1 0 0 1 a
2 2 0 0 2 b
3 3 0 1 0 c
4 4 0 1 1 d
5 5 0 1 2 e
6 6 0 2 0 f
7 7 0 2 1 g
8 8 0 2 2 h
9 9 1 0 0 i
10 A 1 0 1 j
11 B 1 0 2 k
12 C 1 1 0 l
13 D 1 1 1 m
14 E 1 1 2 n
15 F 1 2 0 o
16 G 1 2 1 p
17 H 1 2 2 q
18 I 2 0 0 r
19 J 2 0 1 s
20 K 2 0 2 t
21 L 2 1 0 u
22 M 2 1 1 v
23 N 2 1 2 w
24 O 2 2 0 x
25 P 2 2 1 y
26 Q 2 2 2 z

Ejemplos

dígito (10 dígito (27 trits gematría
27 10 1000 a_
28 11 1001 aa
29 12 1002 ab
81 30 10000 c_

Sistema nonario

El nonario es un sistema numérico en base 9.

Un tryte se puede expresar como 3 dígitos nonarios

Tabla nonaria

dígito (9 trits gematría
0 0 0 א aleph
1 0 1 ב beth
2 0 2 ג gimel
3 1 0 ד dálet
4 1 1 ה hei
5 1 2 ו vav
6 2 0 ז zayn
7 2 1 ח jet
8 2 2 ט teth

El número tres

Tres
Tres

Sistemas de tres

Ternario -1 0 1
El color RGB: Rojo Verde Azul
El magnetismo: negativo neutro positivo
Las dimensiones del espacio: eje X eje Y eje Z
El sentido de giro: negativo reposo positivo

El tres en la ficción

  • Las 3 leyes de la robótica enunciadas por Isaac Asimov
  • Las 3 novelas: Marte rojo, Marte verde y Marte azul de Kim Stanley Robinson

Colores en ternario

RGB

En binario los colores RGB (rojo, verde, azul) están compuestos por 3 bytes. El número de colores es 224, es decir algo más de 16 millones de colores

En ternario los colores RGB está compuesto por 3 trytes, uno por cada canal. El número de colores es 318, es decir cerca de 400 millones de colores.

Notación de colores

La notación para los colores que usaré será la septemvigesimal en letras. Empezando por el final y tomando de 9 en 9 nos da: -, h, q y z. Así el número de colores es 46 = 4096

La notación abreviada de un color es con tres dígitos. Para obtener los seis dígitos del color duplicamos el dígito abreviado de cada canal. De esta forma obtenemos 43 = 64 colores distintos de los cerca de 400 millones posibles.

Ejemplos:

  Sistema ternario (3 trytes) Sistema binario (3 bytes)
septemvigesimal decimal hexadecimal decimal
R G B R G B R G B R G B
-hz -- hh zz 0 224 728 00 4E FF 0 78 255
hzq hh zz qq 224 728 476 4E FF A7 78 255 167
zhh zz hh hh 728 224 224 FF 4E 4E 255 78 78

Tablas de colores abreviados

Tabla 0
- - h q z
- --- --h --q --z
h -h- -hh -hq -hz
q -q- -qh -qq -qz
z -z- -zh -zq -zz
Tabla h
h - h q z
- h-- h-h h-q h-z
h hh- hhh hhq hhz
q hq- hqh hqq hqz
z hz- hzh hzq hzz
Tabla q
q - h q z
- q-- q-h q-q q-z
h qh- qhh qhq qhz
q qq- qqh qqq qqz
z qz- qzh qzq qzz
Tabla z
z - h q z
- z-- z-h z-q z-z
h zh- zhh zhq zhz
q zq- zqh zqq zqz
z zz- zzh zzq zzz

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En inglés:

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2 comentarios:

1 → juan david cuadrado molina (no registrado) dice hace 4 años:

exelente te felicito solo me faltan el 4,5,6,,7,8,9,10 si quieres me buscas en facebook JUAN DAVID CUADRADO MOLINA

2 → Alejandro (no registrado) dice hace un año:

Me gustó mucho tu trabajo, staba investigando sobre computadoras trinarias tipo Setun

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